一类由恒星动力学引出的奇特积分

在考察恒星动力学中使用的星系模型性质时，发现了一个奇特的积分恒等式。当参数取一特殊值时，该恒等式化为一个具有极简单符号值的定积分；但颇令人惊讶的是，所有被查阅的积分表与计算机代数系统似乎均未收录此结果。此处我们表明，该结果是如下恒等式（由初等方法建立）的特例（$n=0$ 且 $z=1$）：$$I_n(z)\equiv\int_0^1{{\rm K}(k) k\over (z+k^2)^{n+3/2}}dk = {(-2)^n\over (2n+1)!!} {d^n\over dz^n} {{\rm ArcCot}\sqrt{z}\over\sqrt{z(z+1)}},\quad z>0,$$ 其中 $n=0,1,2,3...$，且 ${\rm K}(k)$ 为第一类完全椭圆积分。