第一类与第三类完全椭圆积分之间的一个特殊恒等式

我证明了第一类与第三类完全椭圆积分之间存在如下形式的恒等式：$$\Pi({(1+x) (1-3 x)\over (1-x) (1+3 x)}, {(1+x)^3(1-3 x)\over (1-x)^3 (1+3x)})- {1+ 3 x \over 6 x} K ({(1+x)^3(1-3x)\over (1-x)^3 (1+3x)}) = 0, (0< x < 1); =-{\pi\over 12} {(x-1)^{3/2}\sqrt{1+3 x}\over x} (x<0 or x>1)。$$该关系可用于消除等质量情况下双圈 sunset 图虚部解析解中的第三类完全椭圆积分。文中还简要讨论了该关系在复数域的有效性。