分圆方程与调和级数及导出级数的关系

我们将一些与定积分相关的（旧）收敛级数与分圆方程 $x^m-1= 0$ 联系起来，其中 $m$ 为若干自然数；例如，当 $m = 3$ 时，$x^3-1 = (x-1)(1+x+x^2)$，可导出 $\int_0^1dx\frac{1}{(1+x+x^2)} = \frac{\pi}{(3\sqrt{3})} = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{4}-\frac{1}{5}) + (\frac{1}{7}-\frac{1}{8}) + \ldots$ 。在某些情况下，我们用 Dirichlet 特征来表示结果。对于任意 $m$ 的推广是良定义的，但确实涉及较为复杂的积分和/或级数求和。