一个对偶的 Moser-Onofri 不等式及其在高维球面上的推广

我们利用最优质量传输，为 $\s^2$ 上的 Moser-Onofri 不等式提供了一种新的证明和一个对偶公式，其精神与 Cordero-Erausquin、Nazaret 和 Villani 对 Sobolev 不等式的处理以及 Agueh-Ghoussoub-Kang 对更一般情形的处理相同。然而，一旦在 $\R^2$ 上施行球极投影，便有许多障碍需要克服：函数不一定具有紧支集，因此需要估计边界项。此外，参考概率密度 $\mu_2(x)=\frac{1}{\pi(1+|x|^2)^2}$ 对应的对偶自由能在整个空间上不是有限的，这需要在对偶公式中引入重正化自由能。我们还将这一对偶性推广到更高维，并建立了 Onofri 不等式在球面 $\s^n$（$n\geq 2$）上的推广。值得注意的是，相应的自由能再次由 $F(\rho)=-n\rho^{1-\frac{1}{n}}$ 给出，这意味着{\it 预设标量曲率问题}与{\it 预设高斯曲率问题}本质上导致同一个对偶问题，其极值点是快速扩散方程的平稳解。