$\mathbb{Q}_{\ge 0}$-线性对称幺半群范畴中对称幂的双代数刻画

在任何对称幺半群范畴中,对象 $A$ 的第 $n$ 个(余)equalizer 对称幂是 $A^{\otimes n}$ 到自身所有置换的(余)equalizer。若对称幺半群范畴是 $\mathbb{Q}_{\ge 0}$-线性的,即富集于 $\mathbb{Q}_{\ge 0}$-模上,则第 $n$ 个 equalizer 对称幂与第 $n$ 个 coequalizer 对称幂的概念等价。在此情形下,$A$ 的第 $n$ 个对称幂可描述为幂等元 $\frac{1}{n!}\underset{\sigma \in S_n}{\sum}\sigma\colon A^{\otimes n} \rightarrow A^{\otimes n}$ 的分裂中的中间对象 $A_n$。我们定义置换分裂为这样一族可数分裂。本文的主要目标是证明两个定理。第一个定理在任何 $\mathbb{Q}_{\ge 0}$-线性对称幺半群范畴中,展示了使分次对象 $(A_n)_{n \ge 0}$ 成为置换分裂的运算与使该分次对象成为我们称之为二项双幺半群的双代数结构的运算之间的一一对应。二项双幺半群可在任何加法对称幺半群范畴中定义。第二个定理表明,在任何 $\mathbb{Q}_{\ge 0}$-线性对称幺半群范畴中,二项双幺半群的定义可省略双结合性与双交换性公理。我们随后证明,在 $\mathbb{Q}_{\ge 0}$-线性对称幺半群范畴中为二项双幺半群是一种性质:只要底层分次对象同构,两个二项双幺半群便同构。这一结果不能推广到任意加法对称幺半群范畴,因为正特征域 $k$ 上的单变量多项式代数与单变量分幂多项式代数是底层 $\mathbb{N}$-分次向量空间同构却互不同构的二项 $k$-双代数。