半单位半幺半范畴（在半环和半余环中的应用）

半代数 $A$ 上的双半模范畴 $_{A}\mathbb{S}_{A}$，配备所谓的 Takahashi 张量积 $-\boxtimes_{A}-$，是半幺半的但不是幺半的。虽然 $A$ 不是 $_{A}\mathbb{S}_{A}$ 中的单位元，但基半代数 $A$ 具有半单位的性质（本文阐明了其含义）。受这一有趣例子的启发，我们研究了半单位半幺半范畴 $(\mathcal{V}, \bullet, I)$，将其作为研究半幺半群（半余幺半群）概念以及相对于内函子 $\mathbb{J}:=\mathbf{I}\bullet -\simeq -\bullet \mathbf{I}:\mathcal{V}\longrightarrow \mathcal{V}$ 我们称之为 $\mathbb{J}$-幺半（$\mathbb{J}$-余幺半）的幺半（余幺半）概念的框架。这也促使我们在任意范畴中针对任意内函子引入了更广义的幺半（余幺半）概念。应用于半单位半幺半簇 $(_{A}\mathbb{S}_{A},\boxtimes_{A},A)$ 为我们提供了半单位 $A$-半环（半余单位 $A$-半余环）和半单位半模（半余单位半余模）的实例，这些概念扩展了单位环（余单位余环）和单位模（余单位余模）的经典概念。