范畴上的双单子与 Hopf 单子

本文旨在发展任意范畴上的双单子与 Hopf 单子理论，从而为将向量空间中 Hopf 代数理论的精髓转移到更一般的背景提供可能。该理论向*张量*范畴已有若干推广，它们在某种意义上遵循经典的迹。在此，我们对基底范畴不作任何条件限制，而是参考任意范畴 $\A$ 上自函子范畴的张量结构，借此我们保留了部分使得该理论如此有趣的组合复杂性。作为基本工具，我们使用 $\A$ 上单子与余单子之间的分配律（交织）：我们将 $\A$ 上的*双单子*定义为自函子 $B$，它是带有满足特定条件的交织 $\lambda:BB\to BB$ 的单子与余单子。该 $\lambda$ 还用于定义（混合）$B$-双模的范畴 $\A^B_B$。在经典情形中，交织 $\lambda$ 源自向量空间的扭转映射。在此情形则未必如此，但可能存在满足 Yang-Baxter 方程（*局部准编织*）的特殊分配律 $\tau:BB\to BB$，它们诱导出交织 $\lambda$ 并导致*编织 Hopf 代数*理论的推广。对极被定义为具有特殊性质的自然变换 $S:B\to B$，对于具有极限或余极限的范畴 $\A$ 以及保持它们的双单子 $B$，对极的存在等价于 $B$ 诱导出 $\A$ 与 $B$-双模范畴 $\A^B_B$ 之间的等价。这是 Hopf 代数*基本定理*的一般形式。