论幺半群范畴中的内范畴与交叉对象

众所周知，当 $\mathbf{C}=\mathbf{Gr}$ 是群的范畴时，范畴 $\mathbf{C}$ 中的内范畴的范畴 $\mathsf{Cat}(\mathbf{C})$ 可以用交叉模来描述。该结果的证明大量使用了任何可裂满态射都可分解为半直积这一事实。在幺半群范畴 $\mathbf{Mon}$ 中，等价的陈述并不成立。在先前关于二次代数的工作中，我在幺半群范畴中构造了一个内范畴，见第 6 节。基于此构造，本文将引入交叉半双模的概念，并证明它给出 $\mathsf{Cat}(\mathbf{Mon})$ 中的一个对象。我还将这一新概念与 A. Patchkoria 早先引入的交叉半模联系起来。