Eckmann-Hilton 论证与高阶 operad

经典的 Eckmann-Hilton 论证表明，一个集合上的两个幺半群结构，若其中一个是另一个的同态，则它们重合，并且所得的幺半群是交换的。该论证立即给出高次同伦群交换性的证明。将此论证用高阶范畴的语言重述为：假设我们有一个一端对象、一端箭头的 2-范畴，则其 $Hom$-集合是一个交换幺半群。A.Joyal 与 R.Street 的一个类似论证表明，一个一端对象、一端箭头的三范畴与辫幺半群范畴「相同」。在本文中我们开始研究如何将这一论证推广到任意维数。我们提供了一个简单的范畴方案，使我们可以用在一个适当的 2-范畴中计算左 Kan 扩张来形式化 Eckmann-Hilton 型论证。然后我们将此方案应用于作者意义上的 $n$-operad 与经典对称 operad。我们证明存在一个从 $n$-operad 的某个子范畴到对称 operad 范畴的对称化函子 $Sym_n$，使得 $A$ 的一端对象、一端箭头、...、一端 $(n-1)$-箭头代数范畴同构于 $Sym_n(A)$ 的代数范畴。在某些温和条件下，我们给出 $Sym_n(A)$ 的显式公式，它涉及对一个显著的范畴对称 operad 取余极限。我们将在本系列第二篇论文中考虑所发展方法对 $n$-重回路空间理论的一些应用。