$n$- operad 的对称化与实配置空间的紧化

众所周知，从对称 operad 到非对称 operad 的忘却函子有一个左伴随 $Sym_1$，由与对称群 operad 取积给出。同样众所周知的是，该函子不影响 operad 的代数范畴。从作者高阶 operad 理论的观点看，非对称 operad 是 1-operad，而 $Sym_1$ 是从 $n$-operad 到对称 operad 的无穷序列左伴随函子 $Sym_n$（称为对称化函子）的第一项，其性质为：$n$-operad $A$ 的只有一个对象、一个箭头、……、一个 $(n-1)$-箭头代数的范畴同构于 $Sym_n(A)$ 的代数范畴。本文考虑 $n$-operad 对称化的一些几何与同伦方面。我们构造了 Fulton-Macpherson operad 的 $n$-operadic 类似物，并证明其对称化恰为 Fulton 与 Macpherson 的 operad。这意味着，具有可缩 $n$-operad 作用的空间 $X$ 自然具有一个在弱等价于小 $n$-圆盘 operad 的 operad 上的代数结构。对链 operad 有类似结果。这些结果将经典的 Eckman-Hilton 论证推广到任意维数。最后，我们将该技术应用于 Voronov 引入的瑞士奶酪型 operad，并在该情形得到类似结果。