定义在数域上的曲线上向量丛的 Belyi 型判据

设 $X_0$ 为定义在 $\overline{\mathbb Q}$ 上的不可约光滑射影曲线，$f_0 : X_0 \rightarrow \mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb Q}}$ 为分支轨迹包含在子集 $\{0,1, \infty\} \subset \mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb Q}}$ 中的非常值态射。对于 $X = X_0\times_{{\rm Spec}\,\overline{\mathbb Q}} {\rm Spec} \mathbb{C}$ 上的任意向量丛 $E$，考虑 $\mathbb{P}^1_{\mathbb C}$ 上的直像 $f_*E$，其中 $f= (f_0)_{\mathbb C}$。它分解为线丛的直和，并且具有自然的抛物结构。我们证明，$E$ 是 $X_0$ 上向量丛到 $\mathbb C$ 的基变换，当且仅当存在同构 $f_*E \stackrel{\sim}{\rightarrow} \bigoplus_{i=1}^r {\mathcal O}_{{\mathbb P}^1_{\mathbb C}}(m_i)$，其中 $r = {\rm rank}(f_*E)$，该同构将 $f_*E$ 上的抛物结构变为定义在 $\overline{\mathbb Q}$ 上的 $\bigoplus_{i=1}^r {\mathcal O}_{{\mathbb P}^1_{\mathbb C}}(m_i)$ 上的抛物结构。