无短奇圈的平面图5-着色重构

着色重构图$\mathcal{C}_k(G)$以$G$的所有正常$k$-着色为其顶点集，若$\mathcal{C}_k(G)$中两个顶点对应的$k$-着色仅在一个顶点上不同，则它们相邻。Cereceda猜想，若一个$n$-顶点图$G$是$d$-退化的且$k\geq d+2$，则$\mathcal{C}_k(G)$的直径为$O(n^2)$。Bousquet和Heinrich证明了若$G$是平面图且二部的，则$\mathcal{C}_5(G)$的直径为$O(n^2)$。（这证明了该猜想对每一个退化度为3的此类图成立。）他们还强调了当$G$是平面图且无3-圈时Cereceda猜想的特殊情形。作为该问题的一个部分解，我们证明了对于每一个无3-圈且无5-圈的平面图$G$，$\mathcal{C}_5(G)$的直径为$O(n^2)$。