退化 chordal 图和有限 treewidth 图的线性重染色直径

设 $G$ 为一个有 $n$ 个顶点的图，$t$ 为一个整数。图 $G$ 的重染色重构图，记为 $R_t(G)$，由所有 $t$ 色染色组成，两个 $t$ 色染色若在恰好一个顶点上不同则相邻。$G$ 的 $t$ 重染色直径是 $R_t(G)$ 的直径。对于一个 $d$ 退化图 $G$，当 $t \ge d+2$ 时，$R_t(G)$ 是连通的（Dyer 等，2006）。此外，当 $t \ge 3(d+1)/2$ 时，$t$ 重染色直径为 $O(n^2)$（Bousquet 等，2022）；当 $t \ge 2d+2$ 时，$t$ 重染色直径为 $O(n)$（Bousquet 和 Perarnau，2016）。对于一个 $d$ 退化且 chordal 图 $G$，当 $t \ge d+2$ 时，$G$ 的 $t$ 重染色直径为 $O(n^2)$（Bonamy 等，2014）。若图 $G$ 的 treewidth 至多为 $k$，则 $G$ 也是 $k$ 退化的，上述结果仍适用。此外，当 $t \ge k+2$ 时，$t$ 重染色直径为 $O(n^2)$（Bonamy 和 Bousquet，2013）。当 $k=2$ 时，当 $t \ge 5$ 时，$G$ 的 $t$ 重染色直径为线性（Bartier、Bousquet 和 Heinrich，2021），且该结果为紧确的。本文证明：若 $G$ 为 $d$ 退化且 chordal 图，则当 $t \ge 2d+1$ 时，$G$ 的 $t$ 重染色直径为 $O(n)$。此外，若 $G$ 的 treewidth 至多为 $k$，则当 $t \ge 2k+1$ 时，$t$ 重染色直径为 $O(n)$。该结果是对 treewidth 至多为 2 的图结果的一个推广。