3 均匀单调路径与多色 Ramsey 数

单调路径 $P_{n+2}$ 是一个有序的 3 均匀超图，其顶点集合大小为 $n+2$，边集由所有连续三元组组成。本文考察由称为具有 $n$ 次跳跃的单调路径的有序 3 均匀超图构成的集合 $\mathcal{J}_n$，并证明以下关系\n\begin{equation*} r(3;n) \leq R(P_{n+2},\mathcal{J}_n) \leq 4^n \cdot r(3;n), \end{equation*}\n其中 $r(3;n)$ 是三角形的多色 Ramsey 数，$R(P_{n+2},\mathcal{J}_n)$ 是 $P_{n+2}$ 与 $\mathcal{J}_n$ 中任意成员的超图 Ramsey 数。特别地，是否存在指数级增长仍是 Erd\H{o}s 的一个古老问题，等价于 $R(P_{n+2},\mathcal{J}_n)$ 是否指数级增长。