(3+1)维修正化庞拜-佩特维什维利方程及其 \bar{\partial}-形式

在三维空间中构建可积演化非线性偏微分方程是可积性领域最重要的开放问题之一。Fokas 在 2006 年通过构造 4+2 维的可积非线性方程取得了进展，但 3+1 维的降简至今未解决，直至 2022 年 Fokas 提出一种 suitable nonlinear Fourier transform（适当的非线性傅里叶变换）实现了对 Kadomtsev-Petiashvili（KP）方程的降简。本文提出了修正化 KP（mKP）方程的可积化版本，其新颖之处在于它涉及 complex time（复时间）并保持 Laplace's equation（拉普拉斯方程）。通过施加 real time（实时时间）要求，获得 (3+1) 维 mKP 方程。给出特征值的 eigenvalue equation（特征值方程）的谱分析，并基于 Cauchy-Green formula（Cauchy 绿公式）演示了 \bar{\partial}-problem（反谱问题）的解。最后，为 (3+1) 维 mKP 方程的 initial value problem（初始值问题）构建了一个 novel \bar{\partial}-formalism（新颖的反谱形式）。