半平面上的 Kadomtsev-Petviashvili I 方程

本文作者之一于 1997 年引入了一种求解一维空间中线性和可积非线性演化偏微分方程初边值问题的新方法 \cite{F1997}。该方法随后被推广到二维空间中演化偏微分方程的初边值问题，首先是在线性偏微分方程的情形 \cite{F2002b}，最近则是在可积非线性偏微分方程的情形，针对半平面上的 Davey-Stewartson 方程和 Kadomtsev-Petviashvili II 方程（分别参见 \cite{FDS2009} 和 \cite{MF2011}）。在本工作中，我们研究 Kadomtsev-Petviashvili I 方程的类似问题；特别是，通过 d-bar 形式体系对相关 Lax 对进行同时谱分析，我们能够获得解的积分表示，该表示涉及所有初值和边值的特定变换，以及一个恒等式，即所谓的全局关系，它在复谱平面的适当区域中关联了这些变换。