有限区间上演化偏微分方程的一种变换方法

我们研究具常系数的线性标量偏微分方程的初边值问题，其空间导数具有任意阶，定义于区域 $\{t>0, 0<x<L\}$ 上。我们首先表明，通过分析所谓的全局关系——一个在复 $k$-平面上定义的、耦合解的所有边界值的代数关系——可以识别出为使得问题适定，在空间区间每一端必须规定多少个边界条件。然后我们证明解可表示为复 $k$-平面上的积分。该积分由初值条件的 $x$-变换和边界条件的 $t$-变换所定义。对于特定情形，例如周期边界条件情形，或二阶偏微分方程的边值问题情形，该积分可重写为无穷级数。然而，存在这样的初边值问题，其唯一表示是一个不能被写为无穷级数的积分。此类问题的一个例子由 KdV 方程的线性化版本给出。因此，与通常信念相反，有限区间上许多线性初边值问题的解不能被表示为无穷级数。