$\mathbb{C}P^n$ 中单调拉格朗日的动物园

设 $P \subset \mathbb{R}^m$ 为维数 $m$ 且具有 $n$ 个面的多面体。假设 $P$ 是 Delzant 且 Fano 的。我们为 $P$ 关联一个嵌入于 $\mathbb{C}P^{n-1}$ 中的单调拉格朗日 $L$。作为抽象流形，拉格朗日 $L$ 以某环面为底、以 $\mathcal{R}_P$ 为纤维，其中 $\mathcal{R}_P$ 由 $\mathbb{R}P^{n-1}$ 中的一族二次曲面定义。我们找到了计算上述拉格朗日量子上同调群的有效方法。随后我们显式构造了某些丰富的宽与窄拉格朗日集合。我们的方法给出了许多具有丰富拓扑性质的不同的单调拉格朗日，包括非平凡 Massey 积、复杂的基本群与复杂的奇异上同调环。有趣的是，不仅环面拓扑的方法可用于构造单调拉格朗日，其逆亦真：拉格朗日的辛拓扑可用于研究 $\mathcal{R}_P$ 的拓扑。关于环 $H^{*}(\mathcal{R}_P, \mathbb{Z})$、$H^{*}(\mathcal{R}_P, \mathbb{Z}_2)$ 的一般公式尚属未知。由于我们有构造窄拉格朗日的方法，Oh 的谱序列可用于研究 $\mathcal{R}_P$ 的奇异上同调环。