二维环面上的 Zoll 磁系统：一个 Nash-Moser 构造

我们构造了二维环面上的一族无穷维光滑可积磁系统，它们是 Zoll 的，即所有单位速度磁测地线都是周期的。此类系统的度量与磁场可任意接近平坦度量与一给定常值磁场。这将在磁情形中推广了 Guillemin 关于二维球面的著名结果。我们将 Zoll 磁系统刻画为某个合适作用泛函 S 的零点，随后借助 Nash-Moser 隐函数定理寻找其零点。这要求证明线性化算子 dS 在平坦度量与常值磁场邻域内的右可逆性，并确立右逆的驯估计。作为关键步骤，我们证明了正规算子 dS∘dS* 的可逆性，与 Guillemin 的情形不同，该算子仅在高阶为伪微分。我们通过注意到，由贝塞尔函数的渐近性质，dS∘dS* 的低阶展开是一组和傅里叶积分算子，克服了这一困难。随后我们使用预解恒等式分解，将问题归约为 dS∘dS* 限制于对应高傅里叶模函数子空间上的可逆性。最终通过作出关键观察——低阶傅里叶积分算子满足非对称驯估计——实现了该限制算子的求逆。