WLNO：用于求解偏微分方程的小波-拉普拉斯神经算子
机器学习
2026-05-26 v1
摘要
本文介绍了小波-拉普拉斯神经算子（WLNO），一种新颖的神经算子，它将Haar小波多尺度空间分解与拉普拉斯神经算子（LNO）的拉普拉斯域极点-留数公式融合在一起。虽然LNO通过可学习的系统极点和留数捕捉瞬态和稳态动力学，但它缺乏提取复杂偏微分方程解中固有的空间局部多尺度特征的显式机制。WLNO通过用并行的单级Haar离散小波变换（DWT）分支增强LNO核心来解决这个问题，该分支将提升后的特征图分解为四个频率子带：近似（LL）、水平细节（LH）、垂直细节（HL）和对角细节（HH），并在通过逆DWT重建之前对每个子带应用独立学习的卷积。两个分支通过一个可学习的sigmoid门控权重融合，该权重初始化为给小波分支一个小的初始贡献，允许模型在整个训练过程中自适应地平衡拉普拉斯域动力学与空间多尺度特征。在五个基准偏微分方程问题上，使用相同的超参数、训练数据和评估协议，将WLNO与LNO进行了评估：扩散方程、Burgers方程、反应-扩散系统、达西流和二维纳维-斯托克斯方程。WLNO在所有五个问题上都持续优于LNO，在具有强空间多尺度结构的问题上改进最为显著，例如具有尖锐激波前沿的Burgers方程和具有相干涡旋结构的纳维-斯托克斯方程，同时在更平滑和椭圆问题上保持一致。这些结果表明，基于小波的多尺度空间分解是拉普拉斯域算子学习的一种有原则且有效的补充。
引用
@article{arxiv.2605.24658,
title = {WLNO: Wavelet-Laplace Neural Operator for Solving Partial Differential Equations},
author = {Muhammad Abid and Arth Sojitra and Omer San},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.24658},
year = {2026}
}