基于拉普拉斯变换的物理信息神经算子用于求解偏微分方程
机器学习
2026-02-16 v1
摘要
神经算子已成为求解参数化偏微分方程（PDEs）的快速替代求解器。然而，纯数据驱动模型需要大量训练数据，在小数据场景和面对训练数据中未表示的未见（out-of-distribution）输入函数时，泛化性差。为克服这些限制，我们提出物理信息拉普拉斯神经算子（PILNO），通过嵌入PDE、边界条件和初始条件残差来增强拉普拉斯神经算子（LNO）。为提高表达能力，我们首先引入了高级LNO（ALNO）主干结构，保留极点-残差瞬态表示，同时将稳态分支替换为FNO风格的傅里叶乘子。为使物理信息训练既数据高效又稳健，PILNO进一步利用（i）虚拟输入：一个覆盖广泛光谱范围的无标签输入函数集合，提供丰富的仅物理监督并显式针对未见领域（OOD）情境；（ii）时间因果加权：对物理残差进行时间衰减加权，优先考虑早期时动态并稳定时间依赖PDE的优化。在四个典型基准——布尔格方程、达西流、反应扩散系统和受迫KdV方程——上，PILNO在小数据设置（例如N_train <= 27）下持续提高精度，减少随机种子间的运行变异性，并在纯数据驱动基线中实现更强的OOD泛化。
引用
@article{arxiv.2602.12706,
title = {Physics-Informed Laplace Neural Operator for Solving Partial Differential Equations},
author = {Heechang Kim and Qianying Cao and Hyomin Shin and Seungchul Lee and George Em Karniadakis and Minseok Choi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.12706},
year = {2026}
}
备注
38 pages,19 figures