泛包络代数的完备化何时为Banach PI-代数？

我们证明，作为有限维复李代数 $\mathfrak{g}$ 的泛包络代数的完备化的Banach代数 $B$ 满足多项式恒等式，当且仅当 $\mathfrak{g}$ 的幂零根 $\mathfrak{n}$ 在 $B$ 中结合幂零。此外，这成立当且仅当在 $\mathfrak{n}$ 上满足某个多项式增长条件。