nil 度量 $\mathbb{F}$-代数的零幂性

设 $\mathbb{F}$ 为一个度量域。本文证明, 当 $\mathbb{F}$ 的特征为零时, 每个 nil 完备度量 $\mathbb{F}$-代数都是零幂的。这一结果推广了 1969 年首次证明的 Banach 代数Grabinger 定理。此外, 我们指出, 度量 $\mathbb{F}$-代数 $\mathfrak{A}$ 与其完备化 $C(\mathfrak{A})$ 满足相同的多项式恒等式, 因此若 $\mathsf{char}(\mathbb{F})=0$ 且 $C(\mathfrak{A})$ 为 nil, 则 $\mathfrak{A}$ 为零幂。我们的结果使我们能够肯定地解决 K"othe 的问题, 适用于特征为零的完备度量代数。