等变稳定同伦论中的幂零与下降

设 $G$ 为一个有限群，$\mathscr{F}$ 为 $G$ 的一族子群。我们引入一类称之为 $\mathscr{F}$-幂零的 $G$-等变谱。该定义契合于对称单稳定 $\infty$-范畴中挠、完备与幂零对象的一般理论，本文即始于此。随后我们发展了 $\mathscr{F}$-幂零 $G$-谱的一些基本性质，这些性质在本文的续篇中作了进一步探讨。在论文的其余部分，我们证明了若干关于模谱 $\infty$-范畴的一般结构定理，所涉及的对象包括等变实与复 $K$-理论以及 Borel-等变 $MU$。利用这些结构定理以及可追溯到 Quillen 的旗簇技术，我们进而证明：满足某种复定向性的一大类等变上同调理论，对于阿贝尔子群族是幂零的。特别地，我们证明了等变实与复 $K$-理论，以及复定向理论的 Borel-等变版本，均具有此性质。