李超代数表示的同调谱与幂零定理

Balmer 最近证明，通过使用同调剩余域以及与同调谱的联系，张量三角范畴存在幂零定理的一般概念。同调谱（类似于 π-点理论）可视为一个拓扑空间，为 Balmer 谱提供了重要的实现。设 ${\mathfrak g}={\mathfrak g}_{\bar{0}}\oplus {\mathfrak g}_{\bar{1}}$ 是 ${\mathbb C}$ 上的经典李超代数。本文中，作者考虑了有限维李超代数表示的稳定范畴 $\text{stab}({\mathcal F}_{({\mathfrak g},{\mathfrak g}_{\bar{0}})})$ 的张量三角几何。对探测子代数 ${\mathfrak f}$ 的局部化子范畴进行了分类，回答了 Boe、Kujawa 和 Nakano 的一个问题。作为这些结果的一个推论，作者证明了幂零定理并确定了 ${\mathcal F}_{({\mathfrak f},{\mathfrak f}_{\bar{0}})}$ 的稳定模范畴的同调谱。作者验证了 ${\mathcal F}_{({\mathfrak f},{\mathfrak f}_{\bar{0}})}$ 的 Balmer“钢铁神经”猜想。设 $F$（分别地，$G$）是 ${\mathfrak f}$（分别地，${\mathfrak g}$）的伴随超群（概形）。在 $F$ 是 $G$ 的分裂子群的条件下，探测子代数的结果可用于证明 $\text{stab}({\mathcal F}_{({\mathfrak g},{\mathfrak g}_{\bar{0}})})$ 的幂零定理，并确定该情况下的同调谱。现在，利用关于支撑实现的自然假设，作者提供了一种显式实现 $\text{stab}({\mathcal F}_{({\mathfrak g},{\mathfrak g}_{\bar{0}})})$ 的 Balmer 谱的方法，并证明了该情况下的钢铁神经猜想。