非光滑数据平均场博弈二阶主方程的适定性

在本文中，我们研究了在任意持续时间内具有公共噪声的平均场博弈所产生的二阶主方程。经典解通常需要单调性条件（或较短的持续时间）以及足够光滑的数据。在保持单调性条件的同时，我们的目标是放宽数据的正则性，这是文献中的一个开放问题。具体而言，我们不要求关于测度的任何可微性，这使我们无法获得经典解。我们将提出三种较弱的解的概念，分别命名为{\it 好解}、{\it 弱解}和{\it 弱粘性解}，并建立主方程在这三种概念下的适定性。我们强调，由于博弈的性质，即使是经典解也不能期望比较原理成立。全局（时间上）适定性的关键在于解在测度中Lipschitz连续性的一致先验估计。单调性条件对于这一一致估计从而对于全局解的存在性至关重要，但在该Lipschitz类中唯一性并不需要它。为了便于分析，我们为Wasserstein空间上的函数构造了一个光滑的软化子，这在文献中是全新的，其本身也颇具意义。按照与我们的适定性结果相同的方法，我们在温和的正则性要求下证明了Nash系统的收敛性，该系统是对应的$N$-player博弈产生的高维PDE系统。我们还将证明相关最优轨迹的混沌传播性质。