具物理真空的非等熵 Euler 方程的适定性

我们考虑具移动物理真空边界条件的一维非等熵 Euler 方程的局部适定性。物理真空奇点要求声速按到真空边界距离的平方根标度。主要困难在于双曲型守恒律方程组在真空边界处变为特征且退化。我们的证明基于对 Euler 方程用一个由特定选取的退化人工黏性项得到的退化抛物正则化进行逼近。随后我们构造该退化抛物问题的解，并建立关于人工黏性参数一致的估计。可压缩 Euler 方程的解作为人工黏性消失的极限获得。与等熵情形 \cite{Coutand4, Lei} 不同，我们的守恒律动量方程多出一个项 $p_{S}S_x$，导致能量函数中出现额外项，并带来更多困难，即便对 $\gamma=2$ 的情形亦然。此外，我们处理这一自由边界问题时从 $2\leq\gamma<3$ 与 $1<\gamma<2$ 的一般情形出发，而非如 \cite{Coutand4, jang1, Lei} 中仅关注 $\gamma=2$ 的等熵情形。