高阶 $\mu$-Camassa-Holm 方程的适定性及峰子解

本文研究高阶 $\mu$-Camassa-Holm 方程的 Cauchy 问题。利用 $(\mu-\partial_{x}^{2})^{-2}$ 的格林函数,我们得到逆函数 $(\mu-\partial_{x}^{2})^{-2}w$ 的显式公式以及该方程在 Sobolev 空间 $H^{s}(\mathbb{S})$ ($s>\frac{7}{2}$) 中的局部适定性。随后我们证明全局强解与弱解的存在性。此外,我们证明在 $0\leq r<s$ 时,数据到解映射在赋予 $H^{r}(\mathbb{S})$ 拓扑的 $H^{s}(\mathbb{S})$ ($s\geq 4$) 中是 Hölder 连续的。最后,表明该方程允许具有连续二阶导数且三阶导数存在跳跃间断的单峰子解。