Moffatt 磁松弛方程的弱解

我们研究 Moffatt 为模拟磁松弛而引入的一类方程的弱解的整体时间存在性与唯一性。这些方程保持拓扑结构,并将经典不可压缩 Euler 方程的所有定常解作为稳态。在 Beekie、Friedlander 和 Vicol 的工作中,当方程中的正则化参数 $\gamma$ 满足 $\gamma$ > $\gamma$c := d/2+1 时,已对初始磁场 B0 $\in$ Hs(Td)(s > d/2+1) 建立了整体正则性结果。对于 $\gamma$ $\in$ [0, $\gamma$c] 的整体正则性,以及任意 $\gamma$ $\ge$ 0 时具有粗糙初始数据的弱解的存在性,仍作为开放问题遗留。在本文中,我们证明对于任意螺线管磁场 B0 $\in$ L2(Td),当 $\gamma$ > $\gamma$c 时存在唯一的整体弱解。此外,该解可以传播高阶 Sobolev 正则性。这些结果在临界情形 $\gamma$ = $\gamma$c 下仅当 B0 $\in$ L2+(Td) 时成立。