赋值环上的弱交叉积序

设 $F$ 为一个域，$V$ 为 $F$ 的任意 Krull 维数（秩）的赋值环，$K$ 为 $F$ 的有限 Galois 扩张且群为 $G$，$S$ 为 $V$ 在 $K$ 中的整闭包。设 $f:G\times G\mapsto K\setminus \{0\}$ 为一个规范化的二上循环，使得 $f(G\times G)\subseteq S\setminus \{0\}$，但我们不要求 $f$ 取值于 $S$ 的乘法单位群。可以构造一个交叉积 $V$-序 $A_f=\sum_{\sigma\in G}Sx_{\sigma}$，其乘法由 $x_{\sigma}sx_{\tau}=\sigma(s)f(\sigma,\tau)x_{\sigma\tau}$ 给出，其中 $s\in S$，$\sigma,\tau\in G$。我们在对扩张 $K/F$ 的性质施加温和的赋值论假设下，刻画了半遗传和 Dubrovin 交叉积序。