关于一类半遗传交叉积序

设 $F$ 为一个域，$V$ 为 $F$ 的任意 Krull 维数（秩）的赋值环，$K$ 为 $F$ 的有限 Galois 扩张且群为 $G$，$S$ 为 $V$ 在 $K$ 中的整闭包。设 $f:G\times G\mapsto K\setminus \{0\}$ 为一个规范化的二上循环，使得 $f(G\times G)\subseteq S\setminus \{0\}$，但我们不要求 $f$ 取值于 $S$ 的乘法单位群。可以自然地构造一个交叉积 $V$-代数 $A_f=\sum_{\sigma\in G}Sx_{\sigma}$，它是交叉积 $F$-代数 $(K/F,G,f)$ 中的一个 $V$-序。如果 $V$ 在 $K$ 中是非分歧且无缺陷的，我们证明 $A_f$ 是半遗传的当且仅当对于所有 $\sigma,\tau\in G$ 和 $S$ 的每个极大理想 $M$，有 $f(\sigma,\tau)\not\in M^2$。如果此外 $J(V)$ 不是 $V$ 的主理想，则 $A_f$ 是半遗传的当且仅当它是 $V$ 上的 Azumaya 代数。