半直积代数的 Severi-Brauer 簇

Amitsur 的一个猜想指出，两个 Severi-Brauer 簇双有理同构当且仅当其底层代数次数相同且生成 Brauer 群中同一个循环子群。已知生成同一个循环子群是必要条件，但其充分性尚未被证明。本文考察这样一类代数：它们具有次数为 $n$ 的极大子域 $K/F$，其 Galois 闭包 $E/F$ 的 Galois 群形如 $C_n \rtimes H$，其中 $E^H = K$ 且 $|H|$ 与 $n$ 互素。对此类代数，我们证明了该猜想在 $n$ 与 $H$ 的某些情形下成立。特别地，我们证明了当 $G$ 是阶为 $2p$ 的二面体群（$p$ 为素数）时猜想成立。