FPU 模型及其他系统中的弱混沌与强混沌

我们简要回顾了我们小组过去在研究费米-帕斯塔-乌拉姆（FPU）模型动力学时获得的一些最相关的结果。第一个结果是数值证据，表明 FPU 模型动力学中存在两种不同类型的转变：i) 随机性阈值（ST），其特征是每个自由度的能量值，低于该值时绝大多数相空间轨迹是规则的（李雅普诺夫指数消失）。随着自由度数 N 的增加，该阈值趋于消失。ii) 强随机性阈值（SST），其特征是每个自由度的能量值，在该值处，最大李雅普诺夫指数的能量依赖关系出现两种不同幂律之间的交叉，这在现象上对应于弱混沌和强混沌状态之间的转变。该阈值随 N 保持稳定。第二个结果是发展了一种黎曼几何理论来解释哈密顿混沌的起源。该理论的提出动机在于，基于同宿相交的方法不足以解释在任意大 N 系统、或远离准可积性、或显示出弱与强混沌之间转变的系统中混沌的起源。最后，第三个结果源于在 FPU 以外的系统中寻找弱与强混沌之间的转变。实际上，我们发现一个非常尖锐的 SST 作为热力学相变的动力学对应物出现，这反过来，在混沌的黎曼几何理论的光照下，导致了相变拓扑理论的发展。