可数根有向图中的顶点火焰：为每个顶点保持 Erd\H{o}s-Menger 分离

由 Lov\'asz 的一个定理可知，若 $D$ 是一个有限有向图且 $r\in V(D)$，则存在 $D$ 的一个生成子有向图 $E$，使得对于每个顶点 $v\neq r$，以下量相等：$D$ 中从 $r$ 到 $v$ 的局部连通度、$E$ 中从 $r$ 到 $v$ 的局部连通度以及 $v$ 在 $E$ 中的入度。在无限组合数学中，基数往往是一种过于粗糙的度量而难以获得深刻的结果，捕捉结构性性质而非仅仅某些量之间的相等关系更为富有成效。此类结果最著名的例子是将 Menger 定理推广到无限有向图。我们本着这种精神推广了上述 Lov\'asz 的结果。我们的主要结果是：每个可数的 $r$-根有向图 $D$ 都有一个具有如下性质的生成子有向图 $E$。对于每个 $v\neq r$，$E$ 包含一个内部不相交的 $r\rightarrow v$ 路径系 $\mathcal{R}_v$，使得 $v$ 在 $E$ 中的入边恰好是 $\mathcal{R}_v$ 中路径的最后一条边。此外，路径系 $\mathcal{R}_v$ 在 $D$ 中按 Erd\H{o}s-Menger 意义是“大”的，即可以从 $\mathcal{R}_{v}$ 的每条路径中选择一条边或一个内部顶点，使得所得集合在 $D$ 中将 $v$ 与 $r$ 分离。