不可数有向图中的大顶点焰

研究见证连通性性质的极小子图是图论中的一个重要领域。Lov\'asz 为大焰奠定了基础：设 $D=(V,E)$ 为有限有向图，且设 $r\in V$。从 $r$ 到 $v$ 的局部连通性 $\kappa_D(r,v)$ 定义为 $D$ 中内部不相交的 $r\rightarrow v$ 路的最大数目。对每 $v\in V-r$ 满足 $\kappa_L(r,v)=\kappa_D(r,v)$ 的 $D$ 的生成子有向图 $L$ 必须至少具有 $\sum_{v\in V-r}\kappa_D(r,v)$ 条边。Lov\'asz 证明，也许令人惊讶的是，该下界对每个有限有向图都是紧的。满足 Lov\'asz 定理极小极大判据的 $L$ 的最优性也可由如下结构刻画捕获：对每个 $v\in V-r$，在 $L$ 中存在一个内部不相交的 $r\rightarrow v$ 路系统 $\mathcal{P}_v$ 覆盖 $L$ 中 $v$ 的所有入边，使得可从每个 $P\in \mathcal{P}_v$ 中选一条边或一个内部顶点，以使得所得集合与 $D$ 的每条 $r\rightarrow v$ 路相交。基于该结构无限推广的关于可数无限有向图的肯定结果由第二作者获得。在本文中，我们将此推广到大小为 $\aleph_1$ 的有向图，这需要显著更复杂的技巧。尽管仅解决了最小的不可数情形，对该概念的完整理解以及潜在对任意基数的证明似乎仍遥遥无期。