关于 Davenport 过剩数定理的变体

设 $\sigma(n) = \sum_{d \mid n}d$ 为通常的除数和函数。1933 年，Davenport 证明了 $n/\sigma(n)$ 具有连续分布函数。换言之，对于所有 $u \in [0,1]$，极限 $D(u):= \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}\sum_{n \leq x,~n/\sigma(n) \leq u} 1$ 存在且随 $u$ 连续变化。我们研究了和式 $\sum_{n \leq x,~n/\sigma(n) \leq u} f(n)$ 对于某些复值乘性函数 $f$ 的行为。我们的结果涵盖了许多更常见的函数，包括 $\varphi(n)$、$\tau(n)$ 和 $\mu(n)$。它们也适用于两平方和的表示函数，从而得出 Davenport 结果的以下类比：对于所有 $u \in [0,1]$，极限 $$\tilde{D}(u):= \lim_{R\to\infty} \frac{1}{\pi R}\#\{(x,y) \in \Z^2: 0<x^2+y^2 \leq R \text{ and } \frac{x^2+y^2}{\sigma(x^2+y^2)} \leq u\}$$ 存在，且 $\tilde{D}(u)$ 在 $[0,1]$ 上既连续又严格递增。