k 维流的大小 - 质量能量的变分逼近

在本文中，我们针对一类基于 Ambrosio-Tortorelli 泛函建模的能量 $F_{\epsilon,a}^k$ 产生了 $$\Gamma$$-收敛结果。对于 $k = 1$ 的选择，我们证明了 $F_{\epsilon,a}^1$ $$\Gamma$$-收敛到分支输运能量，其单位长度成本是依赖于参数 $a > 0$ 和余维数 $n - 1$ 的函数 $f_a^{n-1}$。极限成本 $f_a(m)$ 的下界为 $1 + m$，因此极限泛函控制了极限对象的质量和长度。在极限 $a \downarrow 0$ 下，我们恢复了 Steiner 能量。随后，我们将该方法推广到任意维度和余维度。极限对象现在是具有指定边界的 k-流，极限泛函同时控制了它们的质量和大小。在极限 $a \downarrow 0$ 下，我们恢复了定义在 $k < n$ 的 k-流上的 Plateau 能量。能量 $F_{\epsilon,a}^k$ 随后可用于 k-Plateau 问题的数值处理。