二维 Steiner 问题的一个简单相场逼近

在本文中，我们考虑二维中与形如 $1 + \alpha m$ 的单位长度成本相关的分支运输问题，其中 $m$ 表示运输质量的大小，$\alpha > 0$ 为固定参数（注意极限情况 $\alpha = 0$ 对应经典 Steiner 问题）。出于对该问题数值逼近的动机，我们引入了一族逼近上述分支运输能量的泛函 $(\{F_\epsilon\}_{\epsilon>0})$。我们通过建立 $\{F_\epsilon\}$ 在 $\epsilon \downarrow 0$ 时的等强制性与 $\Gamma$-收敛来严格论证该逼近。我们的泛函以 Ambrosio-Tortorelli 泛函为模型，在实践中易于优化。我们展示了该方法有效性的数值证据。