分支输运中的一个分形形状优化问题

我们研究以下问题：在分支输运的意义下，从原点单个源出发，能够被最佳灌溉的单位体积集合是什么？我们可以将此问题表述为一个形状优化问题，并证明解的存在性，这些解可被视为分支输运中的一种“单位球”。我们建立了最优解的一些基本性质，并将这些最优集合 A 描述为所谓景观函数（landscape function）的下水平集，该函数在分支输运中现已成为经典。我们证明了景观函数的 $\beta$-H{"o}lder 正则性，从而得到了边界 Minkowski 维数的上界：dim $\partial$A $\le$ d -- $\beta$（其中 $\beta$ := d($\alpha$ -- (1 -- 1/d)) $\in$ (0, 1) 是分支输运中的一个相关指数，与成本中出现的指数 $\alpha$ > 1 -- 1/d 相关联）。我们未能证明该上界，但猜想 $\partial$A 具有非整数维数 d -- $\beta$。最后，我们尝试利用 Oudet 和第二作者几年前引入的分支输运相场近似法的改编版本，对最优形状进行数值计算。