平面上边界光滑性为零的$\varepsilon$邻域

我们给出平面集合$E\subset \mathbb{R}^2$的例子，其$\varepsilon$邻域$E_\varepsilon = \{x \in \mathbb{R}^2 : \textrm{dist}(x, E) \leq \varepsilon \}$边界$\partial E_\varepsilon$在$C^1$意义上无处光滑，即边界上的奇点集合为数稠集(我们指出后者不能为不可数)。此外，我们给出另一平面集合$E$的例子，其$\partial E_\varepsilon$具有上述性质，但 additionally包含不可数子集，其中曲率未定义且具有非整数Hausdorff维数。两种建构均利用描述$\varepsilon$邻域其子集的星形集合特征。