自旋 Calogero-Moser 模型与自旋交换模型的普适 Lax 对

对于任何根系 $\Delta$ 及其反射（Weyl）群 $G_\Delta$ 的不可约表示 ${\cal R}$，可以针对以下势能定义自旋 Calogero-Moser 模型：有理型、双曲型、指数型和椭圆型。对于 ${\cal R}$ 中的每个元素 $\mu$（称为“位点”），我们关联一个向量空间 ${\bf V}_{\mu}$，其元素称为“自旋”。其动力学变量是 ${\bf R}^r$ 中粒子的正则坐标 $\{q_j,p_j\}$（其中 $r$ 是 $\Delta$ 的秩），以及自旋交换算符 $\{\hat{\cal P}_\rho\}$（$\rho\in\Delta$），它们交换位点 $\mu$ 和 $s_{\rho}(\mu)$ 处的自旋。这里 $s_\rho$ 是由 $\rho$ 生成的反射。对于每个 $\Delta$ 和 ${\cal R}$，可以定义一个自旋交换模型。自旋交换模型的哈密顿量是自旋交换算符的线性组合。它通过将正则变量冻结在相应经典 Calogero-Moser 模型的平衡点而获得。对于 $\Delta=A_r$ 和 ${\cal R}=$ 向量表示，它简化为 Haldane-Shastry 模型。我们提出了自旋 Calogero-Moser 模型和自旋交换模型的普适 Lax 对算子，这使我们能够为简并势构造与位点数量一样多的守恒量。