理想与商元的酉Cuntz半群

我们为[3]中引入并称为Cu$^\sim$的抽象酉Cuntz半群范畴中的对象定义了理想的概念。我们证明Cu$^\sim$-半群的理想集合具有完备格结构。事实上，我们证明对于任意稳定秩一C$^*$-代数$A$，映射$I\longmapsto$Cu$_1(I)$定义了$A$的理想集合与其酉Cuntz半群Cu$_1(A)$的理想集合之间的一个完备格同构。进一步，我们为（非阿贝尔）范畴Cu$^\sim$引入了商与正合性的概念。我们证明对于$A$中任意理想$I$，有Cu$_1(A)/$Cu$_1(I)\simeq$ Cu$_1(A/I)$，且函子Cu$_1$是正合的。最后，我们将一个Cu$^\sim$-半群与其正元组成的Cu-半群及其极大元组成的阿贝尔群通过一条分裂正合列联系起来。这一结果使我们能够提取稳定秩一C$^*$-代数的酉Cuntz半群中所包含的额外信息。