迹秩为一的单C*-代数中的酉元

设 $A$ 为具有不超过一的迹秩、且具有迹状态空间 $T(A)$ 的单位可分单无穷维 \CA，并设 $U(A)$ 为 $A$ 的酉群。假设 $u\in U_0(A)$，即 $U(A)$ 中包含恒等元的连通分量。我们证明，对于任意 $\ep>0$，存在自伴元 $h\in A_{s.a}$ 使得 $$\|u-\exp(ih)\|<\ep.$$ 我们还研究了 $u$ 何时能被 $A$ 中具有有限谱的酉元逼近的问题。记 $CU(A)$ 为 $U(A)$ 中由其换位子生成的子群的闭包。已知 $CU(A)\subset U_0(A)$。记 $\widehat{a}$ 为 $T(A)$ 上由 $\widehat{a}(\tau)=\tau(a)$ 定义的仿射函数。我们证明 $u$ 能被 $A$ 中具有有限谱的酉元逼近，当且仅当 $u\in CU(A)$ 且对所有 $n\ge 1$ 有 $\widehat{u^n+(u^n)^*},i(\widehat{u^n-(u^n)^*})\in \overline{\rho_A(K_0(A)}$。文中给出了 $CU(A)$ 中存在不能被有限谱酉元逼近的酉元的例子。值得注意的是，这些结果是在没有可均性的条件下获得的。