穿孔空间中柯西问题 $u_t=\Delta u-u^p$ 非负解的唯一性与非唯一性

考虑穿孔空间中如下柯西问题的经典解： &u_t=\Delta u -u^p \text{in} (R^n-\{0\})\times(0,\infty); & u(x,0)=g(x)\ge0 \text{in} R^n-\{0\}; &u\ge0 \text{in} (R^n-\{0\})\times[0,\infty). 我们证明若 $p\ge\frac n{n-2}$，则对每个 $g$ \eqref{abstract} 的解是唯一的。另一方面，若 $p<\frac n{n-2}$，则当 $g=0$ 时唯一性不成立；即存在具有零初值的非平凡解。