分数阶方程在最少测量次数下的反问题

本文研究如下形式分数阶微分方程的若干反问题：$$(-\Delta)^s u(x)+\sum_{k=0}^N a^{(k)}(x) [u(x)]^k=0,\ \ 0<s<1,\ N\in\mathbb{N}\cup\{0\}\cup\{\infty\},$$ 其给定于有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$，$n\geq 1$。对任意有限 $N$，我们证明 $a^{(k)}(x)$，$k=0,1,\ldots, N$，可由 $\Omega_e:=\mathbb{R}^n\backslash\overline{\Omega}$ 中的 $N+1$ 对不同 Cauchy 数据唯一确定。若 $N=\infty$，则利用无穷多对 Cauchy 数据建立唯一性结果。这些结果非常引人注目，因为一般在局部情形（即 $s=1$）下不成立，即便对 $N=0$ 的最简单情形亦如此，更不用说 $N\geq 1$。非局部性在建立唯一性结果中起了关键作用。我们还利用最少测量次数建立了若干其他唯一确定性结果。此外，在此过程中我们推导出一种用于非线性分数阶微分方程的新的比较原理，作为一项重要副产品。