带小孔域上Stokes方程的一致估计及其在均匀化问题中的应用

我们考虑 $\mathbb{R}^d, \ d\geq 2$ 中带收缩孔的域上Stokes方程的Dirichlet问题。一个典型观察是，域的Lipschitz范数随孔尺寸趋于零而趋于无穷。因此，若 $p\neq 2$，经典结果表明当孔尺寸趋于零时，解的 $W^{1,p}$ 估计可能趋于无穷。本文对所有 $1<p<\infty$ 给出了解的一致 $W^{1,p}$ 估计的完整描述。我们证明一致 $W^{1,p}$ 估计成立当且仅当 $d'<p<d$（当 $d=2$ 时 $p=2$）。随后我们给出了流体力学均匀化问题中的两个应用：限制算子的推广，以及在带孔域中构造Bogovskii算子并给出算子范数的定量估计。