$U_q(\mathfrak{sl}_n)$ 网模型与 $\mathbb{Z}_n$ 自旋界面

这是致力于统计环模型推广的系列论文的第一篇。我们对 $n \ge 2$ 在蜂窝晶格上定义了 $U_q(\mathfrak{sl}_n)$ 网的晶格模型。它是一个由闭的三次图构成的统计模型，具有可由蜘蛛关系计算的非局域 Boltzmann 权重。当 $n=2$ 时，该模型无分支，退化为 Nienhuis 引入的著名 O($N$) 环模型。在一般情形下，我们证明该网模型在 $q=e^{i \pi/(n+1)}$ 处存在一个特殊点，其配分函数与对偶晶格上 $\mathbb{Z}_n$ 对称手性自旋模型的配分函数成正比。此外，在此等价下，网模型构型给出的图与自旋模型的畴壁一一对应。当 $n=2$ 时，该等价退化为 Ising 模型与 O($1$) 模型之间的已知关系。我们还定义了带边界的单连通区域上的开放 $U_q(\mathfrak{sl}_n)$ 网模型，并特别讨论了边界上缺陷的作用。