XXZ 自旋链的 $U_q\mathfrak{sl}_2$ 不变非紧致边界条件

我们为开放 XXZ 自旋链引入新的 $U_q\mathfrak{sl}_2$ 不变边界条件。对于一般的 $q$ 值，我们将体哈密顿量耦合到自旋链一端或两端上的无限维 Verma 模；而对于 $q=e^{\frac{i\pi}{p}}$（即 $2p$ 次单位根）的情形，则耦合到其 $p$ 维类似物。两种情况均由连续“自旋” $\alpha\in\mathbb{C}$ 参数化。为引出我们的构造，我们首先特化到 $q=i$，得到具有展开量子群对称性的修正 XX 哈密顿量，其谱和标度极限利用自由费米子显式算出。在连续极限下，该模型被识别为上半平面上的 $(\eta,\xi)$ 鬼场 CFT，其实轴上具有连续统的共形不变边界条件。哈密顿量的不同扇区被识别为不可约 Virasoro 表示。回到一般 $q$，我们研究底层格点代数的代数性质。我们证明若 $q^\alpha\notin\pm q^{\mathbb{Z}}$，则新边界耦合给出了与 $U_q\mathfrak{sl}_2$ Schur-Weyl 对偶的 blob 代数的忠实表示。进而，修改左右两端的边界条件，我们得到普适双边界 Temperley-Lieb 代数的一个表示。这些表示的生成元和参数均用 $q$ 和 $\alpha$ 显式算出。最后，我们猜想此情形下 Schur-Weyl 对偶的一般形式。本文是一个系列的第一篇，我们将在所有参数值下研究其谱与连续极限、相关格点代数的表示内容以及这些新自旋链的融合性质。