非标准量子代数与有限维 $\mathcal{PT}$ 对称系统

本工作中给出了定义在量子 $sl(2, \mathbb R)$ 代数上的 $\mathcal{PT}$ 对称哈密顿量。我们研究了一族用 $sl(2, \mathbb R)$ 的非标准 $U_{z}(sl(2, \mathbb R))$ Hopf 代数形变生成元表示的非厄米哈密顿量的能谱。利用 $U_{z}(sl(2, \mathbb R))$ 生成元的一种特定玻色子表示，我们证明了该量子代数的余积与对易关系在 $\mathcal{PT}$ 变换下均保持不变。借助这些算符，我们构造了若干有限维 $\mathcal{PT}$ 对称哈密顿量，并在任意维度下解析求得了其能谱。特别地，我们展示了模型参数空间中例外点(Exceptional Points)的出现，并讨论了在精确 $\mathcal{PT}$ 对称与破缺 $\mathcal{PT}$ 对称动力学相下能谱的行为。作为应用，我们表明该非标准量子代数可用于定义有效模型哈密顿量，精确描述基于非对称双量子点的三电子杂化量子比特的实验能谱。值得注意的是，在此有效模型中，形变参数 $z$ 必须被识别为系统的失谐参数。