关于自旋与环路 $O(n)$ 模型的讲义

经典自旋 $O(n)$ 模型是定义在 $d$ 维格点上的模型，其中将 $(n-1)$ 维球面上的一个向量赋予每个格点，且相邻格点上的向量通过其内积发生铁磁相互作用。特例包括Ising模型（$n=1$）、XY模型（$n=2$）和Heisenberg模型（$n=3$）。我们讨论了在不同格点维数 $d$ 和自旋分量数 $n$ 的组合下，自旋 $O(n)$ 模型的长程序与关联衰减问题。环路 $O(n)$ 模型是关于不相交环路随机构型的模型。我们讨论了其在六边形格点上的性质。该模型由环路权重 $n\ge0$ 和边权重 $x\ge 0$ 参数化。特例包括自回避行走（$n=0$）、Ising模型（$n=1$）、临界渗流（$n=x=1$）、二聚体模型（$n=1,x=\infty$）、正常 $4$-着色（$n=2, x=\infty)$、整数值（$n=2$）和树值（整数 $n>=3$）Lipschitz函数以及硬六边形模型（$n=\infty$）。该模型研究的对象是环路的典型结构。我们回顾了该模型与自旋 $O(n)$ 模型的联系，并讨论了其猜想相图，强调了尚存的许多开放问题。